За да разберем как ще се измени обемът на кълбо при промяна на радиуса му, трябва първо да разгледаме формулата за обем на кълбо. Обемът \(V\) на кълбо с радиус \(r\) се изчислява по следната формула: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Сега ще разгледаме двата случая, които са дадени в задачата. ### А) Радиусът се намали 3 пъти Ако радиусът се намали 3 пъти, новият радиус ще бъде \(\frac{r}{3}\). Нека изчислим новия обем \(V'\) с този нов радиус: \[ V' = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r}{3}\right)^3 \] Изчисляваме степенуването: \[ \left(\frac{r}{3}\right)^3 = \frac{r^3}{27} \] Сега заместваме в основната формула: \[ V' = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{r^3}{27} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{27} \cdot r^3 = \frac{4}{81} \pi r^3 \] Следователно, новият обем \(V'\) ще бъде: \[ V' = \frac{1}{27} V \] Това означава, че обемът на кълбото ще се намали 27 пъти, ако радиусът му се намали 3 пъти. ### Б) Радиусът се увеличи 2 пъти Ако радиусът се увеличи 2 пъти, новият радиус ще бъде \(2r\). Нека изчислим новия обем \(V''\) с този нов радиус: \[ V'' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 \] Изчисляваме степенуването: \[ (2r)^3 = 8r^3 \] Сега заместваме в основната формула: \[ V'' = \frac{4}{3} \pi \cdot 8r^3 = \frac{4 \cdot 8}{3} \pi r^3 = \frac{32}{3} \pi r^3 \] Следователно, новият обем \(V''\) ще бъде: \[ V'' = 8V \] Това означава, че обемът на кълбото ще се увеличи 8 пъти, ако радиусът му се увеличи 2 пъти. ### Заключение - Ако радиусът на кълбо се намали 3 пъти, обемът му ще се намали 27 пъти. - Ако радиусът на кълбо се увеличи 2 пъти, обемът му ще се увеличи 8 пъти. Тези резултати следват от кубичната зависимост на обема от радиуса в формулата за обем на кълбо.